Λίγα Μαθηματικά για να μη σκουριάσουν τα μαθηματικά μυαλά της τάξης

Πολλαπλάσια και Διαιρέτες

Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν ως γινόμενο του αριθμού με άλλους ακεραίους.
Κάθε αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.                                                                                 Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δυο αριθμών είναι το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των δυο αριθμών.

Παράδειγμα: τα πολλαπλάσια του 8 είναι 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

                        τα πολλαπλάσια του 12 είναι 12, 24, 36, 48, ...

                        Τα κοινά πολλαπλάσια του 8 και του 12  είναι 24, 48, ...   

                        Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 24, δηλ ΕΚΠ(8,12)=24

Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται κάθε αριθμός που τον διαιρεί ακριβώς (δηλαδή η διαίρεση είναι τελεία)
Όλοι οι αριθμοί έχουν τουλάχιστον 2 διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό τους
Όλοι οι αριθμοί διαιρούν όλα τα πολλαπλάσιά τους

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) δυο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες.

Παράδειγμα: οι διαιρέτες του 8 είναι 1, 2, 4, 8

οι διαιρέτες του 4 είναι 1, 2, 4

οι κοινοί διαιρέτες του 8 και του 12 είναι οι 1, 2, 4

ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο 4 δηλ. ΜΚΔ(8,12)=4

Διαιρετότητα

Όταν λέμε διαιρετότητα εννοούμε κάποιες μεθόδους που μας επιτρέπουν να βρίσκουμε  με σύντομο τρόπο τους διαιρέτες ενός αριθμού.

Φυσικά αυτό μπορούμε να το εξακριβώσουμε κάνοντας διαιρέσεις, αλλά οι διαιρέσεις απαιτούν χρόνο και κόπο.

 Με τα κριτήρια διαιρετότητας καταφέρνουμε να αποφύγουμε τις διαιρέσεις και κάνοντας κατάλληλες και σύντομες παρατηρήσεις να βρίσκουμε αν ο αριθμός που μας δίνεται έχει διαιρέτη το 2, το 3 ή κάποιον άλλον.

Κριτήρια διαιρετότητας

Ένας αριθμός διαιρείται με το:

2	Αν το ψηφίο των μονάδων του είναι 0, 2, 4, 6, 8.                                              (Όλοι οι ζυγοί αριθμοί)
4	Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι πολλαπλάσιο του 4 ή δύο μηδενικά Π.χ. το 324 διαιρείται με το 4 γιατί το 24 είναι πολλαπλάσιο του 4
8	Αν είναι  ζυγοί αριθμοί και το τελευταίο τριψήφιο τμήμα τους είναι πολλαπλάσιο του 8  ή τρία μηδενικά   Π.χ. το 5824 διαιρείται με το 4 γιατί το 824 είναι πολλαπλάσιο του 8.
5	Αν το ψηφίο των μονάδων του είναι 0 ή 5
10	Αν τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά
20	Αν τα δύο τελευταία ψηφία είναι 00 ή 20 ή 40 ή 60 ή 80
25	Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι πολλαπλάσιο του 25 ή δύο μηδενικά   Π.χ το 375 διαιρείται με το 25 γιατί το 75 είναι πολλαπλάσιο του 25 (Όλοι οι  αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι 00 ή 25 ή 50 ή 75)
100	Αν τελειώνει σε δύο ψηφία ή περισσότερα μηδενικά
3	Αν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3.  Π.χ  το 324 διαιρείται με το 3 γιατί 3+2+4=9  Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3
9	Αν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 9                  Π.χ  το 819 διαιρείται με το 9 γιατί 8+1+9=18   Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3
6	Αν είναι  ζυγοί αριθμοί και το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3 Π.χ το 3324 διαιρείται με το 6 γιατί είναι ζυγός αριθμός και το άθροισμα 3+3+2+4=12    Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.     Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: 81,   9225,   312,   800 και  530 διαιρούνται με

το 10:						το 25:
το 5:						το 2:
το 3:						το 100:
το 9:						το 8:
το 4:						το 20:

2.     Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: 432, 140, 1005, 132 και 120 διαιρούνται με

                     

2 και 5:					3 και 5:
2 και 3:					2 και 9:
2, 5 και 8:					2,3,4,5,8,10:
2,3και 10:					2, 5 και 20

3.     Να συμπληρώσετε τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται με τους αριθμούς που είναι δίπλα τους:

α)  534 __ με τους αριθμούς 2 και 5             ε)  841__ με τους αριθμούς 2 και 3

β)  93__ με τους αριθμούς 3 και 5                 ζ)  342__ με τους αριθμούς  5, 9 και 20

γ)  181__ με τους αριθμούς 2 και 9               η) 5__3__ με τους αριθμούς 3 και 4

δ)  547__ με τους αριθμούς 3 και 25            θ) 5__ __3__ με τους αριθμούς 2, 3, 5 και 9

                                                 Όνομα……………………………………………………………..